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New PDF release: Algebra Lineal

By Kenneth Hoffman and Ray Kunze Editorial

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Example text

De lo cual es fácil deducir que si cada AJ- es inversible entonces A es inversible. Supóngase ahora que A es inversible. Se demostrará primero que A,, es inversible. Supóngase que X es una matnz n x 1 y que A,,X = 0. Entonces AX = (A1, _ _ _ , A,,_¡)A,,X = 0. Como A es inversible se debe tener que X = 0. El sistema deecuaciones A,,X = 0 no tiene, pues, solución no trivial, y así A,, es inversible. Pero ahora A, - - - A,,_1 = AA,,_1 es inversible. Por lo dicho antes, Ah-, es inversible. Continuando en esta fonna se concluye que todo AJ- es inversible_ I Quisiéramos hacer ahora un comentario ﬁnal respecto a la solución de ecuaciones lineales.

Así, E Ita; + E Z/¡ﬁi = 0 y como {a¡,. ,a¡,, Bb. } es también un conjunto independiente, cada x, = 0 y cada y, = 0. _,a¡,, B¡,. ,B,,,, 71,. } es una base para W, + Wz_ Finalmente, dimW,+dimW2= (k+m)+(k+ﬂ) =k+(m+k+ﬂ) Cerremos esta sección con una observación referente a la independencia y dependencia lineal. Se han deﬁnido estos conceptos para conjuntos de vectores. Es útil haberlos deﬁnido para sucesiones ﬁnitas (n-tuples ordenados) de vectores: oil, _ _ _, oi,,_ Se dirá que los vectores az, _ _ _ , oi, son linealmente ili-pendientes si existen escalares ﬁjos cz, _ _ _, c,,, no todos nulos, tales que i-jor, + -- - + c,,oi,, = 0.

Una matriz elemental es inversible. Demostración. Sea E una matriz fundamental correspondiente a la operación elemental de ﬁla e. Si el es la operación inversa de e (Teorema 2) y E1 = e,(l), entonces EE¡ = e(E¡) = e(e1(I)) = I y EIE = e1(E) = e1(e(l)) = I con lo que E es inversible y E1 = E”. I Ejemplo -14. it ¿H? ¿J tz, fr - ii :fi ti '2H-± \$1 (d) Cuando c #= 0, [23 ïl1=[å`* ll Y [Fi 'ìlrlå É--l' Teorema 12. Si A es una matriz n x n, los siguientes enunciados son equivalentes_ ° (i) (ii) (iii) A es inversible.